Convocatorias Predoctorales: FPI, FPU, CCAA, Fundaciones

No se puede. Además ya existe jurisprudencia previa al respecto (aunque de refilón). Pese a que no cotizas para el paro durante la fase de beca, la misma se considera como renta.
http://sentencias.juridicas.com/docs/00332150.html
http://laboro-spain.blogspot.com/2011/03/el-trubunal-supremo-dice-que-las-becas.html

Vaya plan, que no te den de alta en la Seguridad Social y tampoco puedas cobrar paro.

En otras becas, es posible apuntarse al paro mientras se disfrutan, ya que al no haber contrato de por medio ni el reconocimiento de una relación laboral, el becario no es legalmente un trabajador y puede darse de alta en la oficina del INEM o del servicio autonómico de empleo correspondiente.

Desde mi propia experiencia, podría contar que hace cuatro años, cuando fui becario de biblioteca universitaria (sin contrato ni alta en la Seguridad Social, como en casi todas las becas), tenía algún compañero que previamente había trabajado en otros sitios, había cotizado más de un año y cobrara el paro, por lo cual tenía un doble ingreso: la beca (750 euros limpios por aquella época) más la prestación por desempleo (en total, superaba cómodamente los 1.000 euros durante los meses que tuvo derecho a paro).